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Introduzione

L'uso di software per la manipolazione dinamica di oggetti geometrici è divenuto ormai una prassi nella didattica della geometria nella scuola media e superiore. I motivi di questo sono legati alla possibilità che il software offre di realizzare costruzioni geometriche accurate raggiungendo un alto grado di visualizzazione nei diversi contesti in cui si lavora. Allo stesso tempo l'uso del software permette allo studente di accedere ad esperienze formative diverse che a partire dalla verifica di congetture toccano la riproduzione di intere dimostrazioni. Accanto agli aspetti di interesse matematico non dimentichiamo che l'uso del software rafforza l'abilità dello studente nell'uso degli strumenti informatici che sono divenuti ormai di uso quotidiano in tutti gli ambienti scientifici.

Se guardiamo al mondo del software libero non possiamo mancare di notare come l'offerta di risorse per la geometria interattiva sia ricca e di elevata qualità. In questo articolo ci pare di interesse porre all'attenzione dei lettori Dr. Geo un software libero per lo studio interattivo della geometria scritto da Hilaire Fernandes dell'associazione francese OFSET (Organization for Free Software in Education and Teaching). L'interesse principale rappresentato da Dr. Geo, che ha un'interfaccia grafica che utilizza le librerie GTK, consiste nel fatto che il programma oltre ad essere utile per lo studio della geometria può essere utilizzato didatticamente per introdurre gli studenti alla programmazione Guile/Scheme.

Gli esempi che troverete nel prosieguo sono stati tutti utilizzati nella didattica della geometria della scuola media nel corso dell'anno scolastico 2003-2004. Per ulteriori applicazioni didattiche il lettore è rinviato alla bibliografia.

1 Funzionalità base

Le funzionalità base di Dr. Geo sono le stesse che caratterizzano molti altri programmi per lo studio interattivo della geometria. Su un foglio di lavoro, inizialmente bianco, si possono costruire direttamente oggetti geometrici (punti, rette, semirette, poligoni, luoghi, ecc...) con cui poi eseguire costruzioni geometriche più complesse. Le costruzioni possono quindi essere manipolate, deformandole con continuità, in modo da mantenere invariate le loro caratteristiche geometriche fondamentali. In questo modo lo studente può rendersi conto di come uno stesso oggetto geometrico possa apparire in situazioni diverse. Un esempio classico è rappresentato dall'altezza di un triangolo nella transizione da triangolo acutangolo a triangolo ottusangolo, passando attraverso il caso particolare del triangolo rettangolo (vedi figura 1).

Figura 1: Altezza di un triangolo con Dr. Geo

Dr. Geo è dotato di comandi per la misurazione delle lunghezze e delle ampiezze degli angoli che permettono di verificare empiricamente la validità di numerose proposizioni elementari. Oltre a questo sono disponibili tutti le funzioni che implementano le trasformazioni piane isometriche e omotetiche. Tutti i passaggi eseguiti per giungere a completare le diverse costruzioni sono visualizzabili in un albero logico che si può attivare aprendo una tendina a fianco del foglio di lavoro.
Il corredo di costruzioni di base presenti in Dr. Geo può essere esteso aggiungendone di nuove attraverso l'elaborazione di macro-costruzioni. Un esempio è sufficiente per comprendere l'essenza della questione. Supponiamo che si desideri includere tra le costruzioni quella relativa alla costruzione di una circonferenza passante per tre punti non allineati assegnati. Possiamo allora procedere come segue: dopo aver eseguito l'intera costruzione azioniamo il comando di creazione di una macro-costruzione e ci verranno richiesti in sequenza: oggetti di ingresso, di uscita e nome, con breve descrizione, della macro-costruzione. Relativamente al nostro esempio: i tre punti saranno gli oggetti di ingresso della macro-costruzione mentre la circonferenza e il suo centro gli oggetti di uscita. La conclusione della macro-costruzione avviene precisando il suo nome e inserendo un breve promemoria contenente informazioni relative alla sua costruzione. Attraverso le macro-costruzioni lo studente può ad esempio costruirsi un archivio personalizzato di costruzioni.

2 Script Guile

Come abbiamo accennato in precedenza l'apetto peculiare di Dr. Geo riguarda la possibilità di scrivere in esso dei programmi. In particolare si possono eseguire script in Guile. L'editing di script sembra inizialmente complesso ma non serve molto tempo per familiarizzare con la sintassi di Guile e con la sua filosofia d'uso. L'importanza didattica di disporre di un ambiente di programmazione è, a nostro parere, enorme. Per esperienza didattica abbiamo potuto verificare spesso quanto sia difficile, anche per studenti abili nel maneggiare il computer, affrontare l'implementazione di programmi anche relativamente semplici. Per esperienza didattica abbiamo potuto verificare spesso quanto sia difficile, anche per studenti abili nel maneggiare il computer, affrontare l'implementazione di programmi anche relativamente semplici.
Un esempio applicativo dell'uso di script è rappresentato dal seguente, ormai classico. Talvolta capita di imbattersi in studenti che non sono profondamente convinti della validità generale della formula dell'area del triangolo. Può essere allora utile ricorrere al software come strumento di persuasione. Con riferimento alla figura 2 osserviamo che il punto C è libero di muoversi sulla retta CD parallela ad AB. Il segmento CH rappresenta l'altezza relativa alla base AB del triangolo ABC. L'idea consiste nel mostrare agli studenti come spostando C sulla retta CD, l'area di ABC rimanga costante.

Figura 2: Script Guile per Dr. Geo

L'area del triangolo si calcola attraverso uno script del tipo:

(define b (getLength a1))
(define h (getLength a2))
(* 0.5 ( * b h ))

la cui interpretazione è semplice: nella prima linea si definisce la variabile b assegnando ad essa il valore della lunghezza di AB (a1), nella seconda linea si definisce la variabile h assegnando ad essa il valore della lunghezza di CH (a2), infine, nell'ultima linea, si calcola l'area del triangolo. Spostando C sulla retta CD sarà facile verificare che effettivamente l'area del triangolo rimane invariata.

3 Funzionalità per l'insegnante

Alcune funzionalità di Dr. Geo sono state sviluppate per agevolare l'insegnante sul piano didattico sia a livello di progettazione di sessioni di lavoro speciali, sia di produzione di dispense e testi per esercitazioni in classe, sia per l'uso del software come sostituto della classica lavagna. Per quanto riguarda le sessioni di lavoro speciali Dr Geo permette una completa personalizzazione dell'interfaccia utente, compresa la disattivazione temporanea di alcune funzionalità normalmente disponibili. Si può ricorrere a questa funzionalità per costringere gli studenti ad implementare le trasformazioni isometriche utilizzando solo la trasformazione di riflessione! Per quanto riguarda poi la produzione di dispense è interessante notare come Dr. Geo permetta l'esportazione di figure in LaTeX (pacchetto pstricks), in PostScript e in PNG.

Interfacciando il computer con un proiettore è possibile talvolta far lezione senza ricorrere alla lavagna. Un problema che si presenta è tuttavia quello di accompagnare la visualizzazione delle figure geometriche con parti scritte. Dr. Geo ha al suo interno un semplice editor di testi. Il foglio di testo appare come un foglio bianco sovrapposto alla figura che, con un clic di mouse, può diventare soggiacente alla figura. Ciò permette di passare da un testo scritto alle figure in modo istantaneo consentendo l'alternanza tra figure e appunti.

4 Sviluppi recenti

Dalla versione 0.9.8 le potenzialità di Dr. Geo come strumento di programmazione sono state potenziate includendo la possibilità di eseguire programmi in Scheme. La comprensione dell'uso didattico di questo strumento è ancora in fase di studio e si attendono contributi da tutti.
Un secondo aspetto di interesse riguarda l'interazione tra il progetto TeXmacs e Dr. Geo in quanto è in fase di perfezionamento un plugin per TeXmacs di Dr. Geo. Il software TeXmacs, nato essenzialmente come editor visuale avanzato di documenti scientifici che coniugasse la necessità di disporre di un livello di impaginazione e di rendering pari a quello garantito da TeX aggirando la difficoltà di un uso diretto di TeX, è stato dotato di un notevole sistema di plugin che permette di caricare, all'interno di una sessione di videoscrittura, sessioni di sistemi di computer algebra (come ad esempio Maxima) o di programmi grafici (come ad esempio Gnuplot) importandone, all'occorrenza, direttamente gli output in TeXmacs. Nel caso del plugin per Dr. Geo sarà possibile creare, attraverso esso, figure geometriche e importarle direttamente in TeXmacs. Ulteriori dettagli sui plugin di TeXmacs si trovano al sito dedicato al progetto TeXmacs mentre gli aggiornamenti relativi al plugin per Dr. Geo si trovano al portale Ofset raggiungibile dal sito dedicato a Dr. Geo.

5 Documentazione e download

Dr. Geo è completamente localizzato in lingua italiana. Il codice sorgente di Dr. Geo in formato tarball, i pacchetti RPM e Debian disponibili sono scaricabili nella zona Download al sito internet http://www.ofset.org/drgeo . I manuali in linea tradotti in diverse lingue tra cui l'italiano non sono inclusi nel pacchetto software ma si scaricano separatamente nell'area Documentation dello stesso sito.

Bibliografia

H. Fernandes A. Centomo, Manuale di Dr. Geo, OFSET, 2003.
A. Centomo, Dr. Geo e la geometria tolemaica, Lettera Matematica Pristem, n. 49, 2003.

Autore: Andrea Centomo
Email: acentomo at ofset dot org
Data: 26 Gennaio 2004